漸化式を使って数列の一般項を求める方法は、最初に与えられた初項と漸化式を基に、規則的なパターンを見つけ出すことから始まります。この記事では、与えられた漸化式を使って数列の一般項を求める方法を解説します。
問題の確認
問題で与えられた漸化式は次のようになっています。
初項: a₁ = 1
漸化式: aₙ = aₙ₋₁ + n
この漸化式は、各項が前の項にnを加えた形になっています。つまり、前の項にnを加えることで、次の項が求められます。目標は、この漸化式を使って一般項aₙを求めることです。
漸化式から数列を展開する
まずは、漸化式を使って数列を展開してみましょう。初項がa₁ = 1ですので、次の項は次のように求められます。
- a₂ = a₁ + 2 = 1 + 2 = 3
- a₃ = a₂ + 3 = 3 + 3 = 6
- a₄ = a₃ + 4 = 6 + 4 = 10
- a₅ = a₄ + 5 = 10 + 5 = 15
このように、各項を順に計算すると、数列は次のようになります。
1, 3, 6, 10, 15, …
数列の規則性を見つける
次に、この数列の規則性を見つけます。数列の各項は、自然数の累積和に相当することに気付きます。具体的には、次のように項が増えていきます。
- a₁ = 1 = 1
- a₂ = 3 = 1 + 2
- a₃ = 6 = 1 + 2 + 3
- a₄ = 10 = 1 + 2 + 3 + 4
- a₅ = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
したがって、数列の一般項aₙは、1からnまでの累積和に等しいことがわかります。この累積和は、次の式で表されます。
aₙ = 1 + 2 + 3 + … + n
一般項の公式を求める
1からnまでの累積和は、次の公式で求めることができます。
aₙ = n(n + 1) / 2
これは、自然数の和の公式に基づいています。したがって、この数列の一般項は
aₙ = n(n + 1) / 2
となります。これが求めるべき一般項です。
まとめ
漸化式を使って数列の一般項を求める際には、数列の規則性を見つけ、累積和として表現することが一つの方法です。今回の問題では、与えられた漸化式を元に、数列の一般項を求めることができました。この方法を使うことで、他の漸化式にも応用することができます。
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