700!の末尾にある0の数を求める方法

「700!（700の階乗）」の末尾にある0の個数を求める問題について解説します。階乗計算における末尾の0の数は、どのようにして求められるのでしょうか？

階乗と末尾の0

階乗とは、ある数をその数以下のすべての自然数で掛け合わせた値を指します。例えば、5!は1×2×3×4×5で120です。問題は、この階乗の結果の末尾にいくつの0が並ぶかを求めることです。0が末尾に付くのは、10の倍数が階乗に含まれるからです。10は2×5の積であるため、2と5の組み合わせが何回あるかを調べることがポイントになります。

末尾の0の数を求める方法

末尾に0が何個続くかは、階乗に含まれる「5の倍数」の個数を数えることで求めることができます。なぜなら、10は2と5の積であり、5が多く含まれているため、10の倍数は「5」の個数に依存するからです。具体的には、次のように計算します。

5の倍数の個数を数える

700!における5の倍数を数える方法は、700を5で割り、さらにその結果を5で割り、繰り返していきます。このようにして得られる合計が、末尾に連続して現れる0の数になります。

計算例

700 ÷ 5 = 140（ここで得られる5の倍数の個数）
140 ÷ 5 = 28（さらに5の倍数）
28 ÷ 5 = 5（さらに5の倍数）
5 ÷ 5 = 1（さらに5の倍数）
合計：140 + 28 + 5 + 1 = 174

このように、700!の末尾には174個の0が並びます。

まとめ

700!の末尾にある0の個数は174個です。階乗の末尾の0を求める際には、5の倍数が何回出てくるかを数える方法を使います。この方法を理解しておけば、他の階乗でも同様に末尾の0を計算することができます。