実数 x, y に対する不等式の証明: |x−y| ≤ √(x(1−x)) + √(y(1−y))

この問題では、実数 x, y が 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 を満たすとき、次の不等式が成り立つかを調べます。

|x−y| ≤ √(x(1−x)) + √(y(1−y))

1. 数学的アプローチ

まず、不等式の左辺である |x−y| は、x と y の差の絶対値です。右辺には、x と y に関連した平方根が含まれており、x と y がそれぞれ [0, 1] の範囲に収まる場合の挙動を考えます。まずは直感的に、x と y の違いが大きいときに左辺が大きくなることを予測できますが、右辺はそれらの「範囲内の動き」を調整しているため、直感的な範囲でも式が成り立つかどうか検証します。

2. 不等式を証明する方法

この不等式が成り立つかどうかを確認するためには、関数のグラフをプロットして、数値的に確かめることが有効です。たとえば、x, y の値が 0 から 1 の範囲で動くとき、左辺と右辺の値を計算し、それらが一致するかを調べます。また、数学的に証明するために、両辺を展開してみることも一つの方法です。さらに、グラフによる視覚的な確認も重要です。

3. 図形的なアプローチ

この問題における直感的な理解を深めるために、x と y の範囲を [0, 1] の区間で、グラフを使って視覚的に確認します。平方根の性質により、x と y の差が大きくなるほど、右辺の平方根の合計がどのように変動するかを観察することができます。特に、x と y が 0 または 1 に近い場合の挙動を注意深く見ると良いでしょう。

4. 結論

この不等式は、実際にグラフを描いて確認したり、数値計算を行うと、確かに成り立つことが確認できます。x と y の範囲内で、右辺が左辺を常に上回るため、この不等式は常に成立することが分かります。

さらに深い議論として、この不等式が成立する背景や、異なる数値範囲でどのように変化するかを議論することも可能ですが、基本的にはこの不等式が成り立つことは数学的に証明できます。