針金を使って正方形と長方形の面積の和を最小にする方法

この問題では、24cmの針金を使って正方形と長方形を作る方法を考えます。長方形の縦の長さが横の長さの2倍になるように設定し、2つの図形の面積の和を最小にするための正方形を作る方の針金の長さを求めます。

1. 問題の設定

まず、24cmの針金を2本に分けて一方を正方形、もう一方を長方形にします。長方形は、縦の長さが横の長さの2倍である必要があります。この設定に基づいて、最小の面積を得るための最適な針金の分け方を考えます。

針金の長さをそれぞれ、正方形用の針金をxcm、長方形用の針金を(24 – x)cmとしましょう。ここで、正方形の面積と長方形の面積をそれぞれ求め、その和を最小にするxの値を求めます。

正方形の辺の長さはx/4ですから、正方形の面積は(x/4)^2となります。

長方形の針金の長さが(24 – x)cmで、縦の長さが横の2倍であるため、長方形の縦の長さは(24 – x)/6、横の長さは2(24 – x)/6です。したがって、長方形の面積は縦×横、すなわち((24 – x)/6) * (2(24 – x)/6) となります。

正方形と長方形の面積の和は、次の式で表されます。

面積の和 = (x/4)^2 + ((24 – x)/6) * (2(24 – x)/6)

この式を最小化するxを求めるために、微分して0とすることで最小値を求めます。

微分した結果、xの最適な値が求まります。計算すると、正方形を作る針金の長さはおおよそ12cmであることがわかります。したがって、24cmの針金を正方形に12cm、長方形に12cmに分けることで、面積の和が最小になります。

この問題では、正方形と長方形を作る際に面積の和を最小にするために、針金を12cmずつ分けることが最適であることがわかりました。このような最適化の問題は、数学的なアプローチを用いることで効率的に解決できます。