数学における媒介変数tを使った問題で、曲線がどのような形を描くのかを理解するのは少し難しいことがあります。特に、x = 2^t + 2^-t と y = 2^t – 2^-t の関係について、どのような曲線を描くのかを解説します。この記事では、疑問点の解決方法を詳しく説明します。
問題の式とその解釈
まず、x = 2^t + 2^-t と y = 2^t – 2^-t という式があります。この式は、媒介変数tに関する曲線を描くもので、tの値を変えることによって、xとyの値がどのように変化するかを見ていきます。解説では、この式を使って曲線の性質を考えます。
式を操作していくと、xとyに関する関係式が得られます。具体的には、x^2 – y^2 = 4という式が導かれます。これは双曲線の式です。ここでは、xとyの関係が双曲線であることがわかります。
解説の疑問点とその理解
質問者が感じている疑問は、あるxに対して、yが必ず一つの値になるのか、それとも二つの値が存在するのかという点です。双曲線では、xに対して二つのyが存在することが基本ですが、この点について詳しく解説します。
解説で言われているように、x = 2^t + 2^-t と y = 2^t – 2^-t が成り立つtが存在することは保証されます。実際には、tの値を決めることで、xとyの値は一意に決まります。ただし、yが一つの値だけでなく、二つの値を取るように思える場合でも、双曲線の性質に基づくと、一意のtが決まることで、yの値も確定します。
双曲線の性質とyの値の確認
双曲線の式では、xに対してyが二つの値を取ることがよくあります。しかし、具体的な式においては、xに対応するtが一意に決まるため、yの値も必ず一つの値となります。この点が理解の鍵です。
実際には、双曲線でのxに対して二つのyが存在する場合でも、tを求めるとそのtに対応するyの値は一つに定まるため、逆に問題に戻ることができます。すなわち、あるx1に対してy1が対応し、そのtが存在すれば、解説の通り、yの値も一意に決定されます。
まとめ
この問題では、媒介変数tを使ってxとyの関係を式で表すことで、双曲線の形を描くことができます。xに対してyが二つの値を取る場合でも、tが決まればyの値は一意に定まることが確認できました。この理解を深めることで、双曲線の性質を正確に把握し、問題を解くことができるようになります。
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