1 + tan²θ = 1 / cos²θ の理由と二乗の表記方法

三角関数の式「1 + tan²θ = 1 / cos²θ」は、多くの学生が学ぶ基本的な恒等式の一つです。この式がどのように導かれるのか、そして「二乗」の表記についても詳しく解説します。

1. tan²θ = sin²θ / cos²θ の導出

まず、tanθはsinθ / cosθとして定義されていることを思い出しましょう。この定義を用いて、tan²θはsin²θ / cos²θとなります。したがって、1 + tan²θは次のように表現できます。

1 + tan²θ = 1 + sin²θ / cos²θ

2. 1 + tan²θ = 1 / cos²θ の導出

上記の式を整理すると、1 + sin²θ / cos²θとなり、分母を共通化すると次のように変形できます。

1 + sin²θ / cos²θ = (cos²θ + sin²θ) / cos²θ

ここで、三角関数の基本的な恒等式「sin²θ + cos²θ = 1」を使用すると、式は次のように簡略化されます。

(1) / cos²θ = 1 / cos²θ

これにより、1 + tan²θ = 1 / cos²θが成立することがわかります。

3. 二乗の表記方法

三角関数における「二乗」の表記は、基本的に「θ²」を使って表します。例えば、tan²θはtanθの二乗を意味し、同様にsin²θ、cos²θもそれぞれsinθ、cosθの二乗を意味します。

この二乗の表記は、数学的な簡潔さを保つために使われます。特に、三角関数の式で頻繁に登場するため、慣れると非常に便利です。

4. なぜこの恒等式が重要なのか

1 + tan²θ = 1 / cos²θという恒等式は、三角関数を扱う際に非常に重要な役割を果たします。特に、三角関数を使った積分や微分、複雑な三角形の計算でよく使われます。

また、三角関数の恒等式を理解しておくことで、他の三角形や物理現象の問題を解く際にも大いに役立ちます。

5. まとめ

1 + tan²θ = 1 / cos²θは、三角関数における基本的な恒等式です。この式は、tanθがsinθとcosθを使って定義されることから導かれます。また、「二乗」の表記は数学的に簡潔な方法として、様々な場面で活用されます。この理解を深めることで、より複雑な三角関数の問題にも対応できるようになります。