ユークリッドの互除法を使って「7n + 4」と「8n + 5」が互いに素である条件を求める問題に関して、疑問が生じた場合の解答方法を解説します。この問題は、ユークリッドの互除法を使用した最大公約数の求め方や、符号を逆にしてもよい理由に関連しています。
ユークリッドの互除法の基本的な説明
ユークリッドの互除法は、2つの整数が互いに素かどうかを調べる方法です。これにより、最大公約数を効率的に求めることができます。この方法では、次の式を使って繰り返し余りを求めていきます。
a = bq + r （ここで、aは大きい数、bは小さい数、qは商、rは余り）
余りが0になるまでこの手順を繰り返し、その時点でのbが最大公約数となります。
問題の流れと符号の逆転
問題では、「7n + 4」と「8n + 5」が互いに素である場合のnの値を求めています。ユークリッドの互除法を使うと、次のような式が得られます。
(8n + 5, 7n + 4) = (n + 1, 3)
ここで、余りに関する符号の逆転について質問があります。余りは−3と計算されますが、最大公約数を求める過程では符号を逆にしても問題ありません。最大公約数の値に符号は関係なく、求める結果に影響を与えないためです。
符号を逆にしても問題ない理由
ユークリッドの互除法では、余りの符号は最終的な最大公約数を決定するためには影響を与えません。最大公約数は、絶対値で求めるからです。従って、余りが負であっても、計算過程で符号を逆にしても最大公約数の求め方に違いは出ません。
「互いに素」の意味と求め方
「互いに素」というのは、2つの整数の最大公約数が1であることを意味します。この問題においても、最終的に最大公約数が1であるnの値を求めることが目的です。最大公約数が1である場合、2つの数は互いに素であると言います。
問題の流れに従って、符号の取り扱いや最大公約数の計算を行うと、互いに素であるようなnの値が導き出されます。
まとめ
ユークリッドの互除法を使って「7n + 4」と「8n + 5」が互いに素であるnの値を求める際、符号の逆転は最大公約数を求める過程において問題ありません。符号を逆にしても、最終的な結果に影響を与えないため、安心して計算を進めてください。また、「互いに素」の定義を理解し、最大公約数が1である場合に使われることを確認しましょう。
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