1•2 + 2•3 + 3•4 + ⋯ + k(k+1) の解き方とその証明方法

今回は、数式「1•2 + 2•3 + 3•4 + ⋯ + k(k+1) = 1/3k(k+1)(k+2)」の解き方について詳しく解説します。数列の和を求める方法と、それがどうして右辺の式に一致するのかをステップごとに見ていきましょう。

問題の理解と式の確認

この問題は、次のような数式を示しています。

1•2 + 2•3 + 3•4 + ⋯ + k(k+1)

左辺の式は、各項が順に1•2, 2•3, 3•4, … と続く形の数列です。最終的に、この式が「1/3k(k+1)(k+2)」に等しいことを証明することが目標です。

右辺の式「1/3k(k+1)(k+2)」は、積の形になっています。この式が左辺の数列の和と等しいということを示す必要があります。

この数列の一般項は「n(n+1)」という形です。この項を和にするためには、まず各項の展開を考えます。

「n(n+1) = n^2 + n」となるので、数列全体の和を「Σ(n^2 + n)」として求めます。すると、次のように分解できます。

Σn^2 + Σn

Σn^2（nの二乗の和）は「k(k+1)(2k+1)/6」で求められ、Σn（nの和）は「k(k+1)/2」で求められます。

これらの和を使って、最終的に左辺の和が「1/3k(k+1)(k+2)」に一致することを示すことができます。

「1•2 + 2•3 + 3•4 + ⋯ + k(k+1) = 1/3k(k+1)(k+2)」の数列の和を求めるには、数列の展開と和の公式をうまく利用する必要があります。最終的に、左辺と右辺が一致することを確認することができました。