一次不定方程式の整数解とユークリッドの互除法：分かりやすい解説

一次不定方程式の整数解を求める方法として、ユークリッドの互除法を使う手順について詳しく解説します。特に、ax + by = 1 の形の方程式における整数解の求め方がよくわからないという質問に応える内容です。ユークリッドの互除法がどのように解法に活かされるのかを、分かりやすく説明します。

1. ユークリッドの互除法とは？

ユークリッドの互除法は、2つの整数の最大公約数を求める方法です。具体的には、a と b が互いに素な場合、ax + by = 1 の整数解を求める手段となります。まず、a と b の最大公約数（GCD）を求めるところからスタートしますが、a と b が互いに素であるならば、GCD は 1 です。

ユークリッドの互除法は次のように進みます。

ユークリッドの互除法を使って一次不定方程式 ax + by = 1 の解を求めるためには、最初に a と b の最大公約数（GCD）を求めます。もし GCD が 1 であれば、ax + by = 1 の整数解が存在します。

その後、ユークリッドの互除法を逆に辿ることで、x と y の具体的な値を求めることができます。これは、ユークリッドの互除法の過程で得られる商や余りを使って、式を再構築する作業です。

ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求めた後、その逆操作を行うことで整数解を求めます。例えば、a = bq + r という式から始め、r = a – bq の形を使って、x と y の関係を求めていきます。

その結果、整数解 (x, y) が得られます。実際に数値を使って解いてみることで、さらに理解が深まります。

実際に数値を使って、ax + by = 1 の解を求める手順を見てみましょう。

例: 30x + 12y = 1

この方程式を解くために、まず 30 と 12 の最大公約数を求め、その後、逆ユークリッドの互除法を使って解を求めます。

具体的な手順を追うことで、どうして整数解が得られるのか、さらに理解しやすくなります。

ユークリッドの互除法は、一次不定方程式の整数解を求める際に非常に重要な役割を果たします。最初に最大公約数を求め、その後に逆操作を使って解を導くことができます。公式や手順を覚えることで、どんな整数解の問題にも対応できるようになります。