10円、50円、100円、500円硬貨を使って支払う方法の通り数を求める最速解法

「10円硬貨4枚、50円硬貨3枚、100円硬貨2枚、500円硬貨1枚を使って、ちょうど支払うことのできる金額は何通りか？」という問題において、最も効率的に解く方法について解説します。この問題では、79通りの金額を支払う方法が存在しますが、どのように最速で解くことができるのでしょうか？

問題の理解と解法のアプローチ

この問題では、与えられた枚数の硬貨を使って、作れる金額の通り数を求めます。まずは、各硬貨の枚数とその価値を確認しましょう。10円硬貨は最大4枚、50円硬貨は最大3枚、100円硬貨は最大2枚、500円硬貨は最大1枚まで使うことができます。

最も早く解くためには、このような場合の組み合わせを効率的に求める方法を取ります。すべての組み合わせを列挙するのではなく、動的計画法や順番に計算していく方法を用いることが有効です。

動的計画法での解法

動的計画法を使うことで、このような組み合わせ問題を効率的に解くことができます。基本的な考え方は、各硬貨の価値ごとに、作ることができる金額を順番に求めていき、それを蓄積していくという方法です。

例えば、10円硬貨を使って作れる金額の通り数を求め、その後に50円硬貨を加え、次に100円硬貨を加え、最後に500円硬貨を加えるというように進めます。この手順を順番に行うことで、重複を避けつつ効率的に金額の通り数を求めることができます。

具体例での解説

具体的には、次のように考えることができます。まず、10円硬貨で作れる金額は、0円から40円の間で、10円の倍数の金額が作れることになります。次に50円硬貨を加えることで、さらに多くの金額が作れるようになります。このようにして、各硬貨を使って作れる金額を順に加えていくことで、最終的に支払える金額の通り数を求めることができます。

最速解法を実現するためのポイント

最速で解くためのポイントは、いくつかの硬貨を順番に加算していく「逐次計算」にあります。動的計画法やその類似技法を活用することで、組み合わせの数を効率よく求めることができます。

まとめ

この問題では、硬貨を使って支払う金額の通り数を求める際、動的計画法を活用することで最も効率的に解くことができます。79通りの金額を作れるという結果に至るためには、硬貨を使う順番を考慮しながら、計算を進めていくことが重要です。これにより、時間を節約しつつ、正確に解を求めることができます。