高校数学で学ぶ数列の問題では、与えられた数列の一般項を求めることがよくあります。今回の質問では、「-3, 5, -7, 9, …」という数列に関する一般項の求め方についての疑問が挙げられています。この問題で、一般項の表現として「(2n-1)(-1)^(n-1)」が使われる理由や、累乗部分を「n+1」にしてもよいかどうかについて解説します。
1. 数列の一般項とは？
数列の一般項とは、数列の任意の項をnを使って表現した式のことです。この式を使うことで、数列の任意の位置にある項を簡単に求めることができます。たとえば、与えられた数列「-3, 5, -7, 9, …」に対して、一般項を求めることで、その数列における各項をnの関数として表すことができます。
数列の一般項を求める際には、数列の規則性に注目します。ここでは、数列の項が交互に符号が変わる点や、項ごとに増減している点が規則として確認できます。
2. 「(2n-1)(-1)^(n-1)」の式の意味
一般項として「(2n-1)(-1)^(n-1)」が与えられた理由は、まず「2n-1」が奇数列を表しており、次に「(-1)^(n-1)」で符号が交互に変わる規則を表しているからです。
具体的には、数列の項が奇数であるため、「2n-1」の部分で奇数を生成し、また「(-1)^(n-1)」によって符号が交互に変わることで、-3, 5, -7, 9といった符号の変化を正確に表現しています。
3. 「n+1」での表現ができない理由
質問者が提案した「(-1)^(n+1)」の式では、符号が変わるタイミングがずれてしまいます。具体的には、nが1のときに符号が正になり、nが2のときには符号が負になるようになり、元の数列の規則と合わなくなります。
「(-1)^(n-1)」を使うことで、最初の項が負の値（-3）から始まり、交互に符号が切り替わる正しいパターンを維持することができます。
4. まとめ：数列の一般項の求め方
数列の一般項を求める際には、数列の規則性をしっかりと理解することが重要です。今回の例では、符号が交互に変わること、項が奇数であることを元に一般項を求めることができました。また、「n+1」の式が使えない理由は、符号の切り替わるタイミングがずれてしまうからです。
数列の問題では、このように数列の規則性を丁寧に見極めることが解答の鍵となります。
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