中学生向け数学の発展問題解説：幾何学・計算・時計問題・商業問題

中学生の数学の発展問題に対する解法をわかりやすく解説します。以下の問題について、具体的な解法を順を追って説明します。質問には途中式も含めて解説を行いますので、問題ごとのステップを確認しながら解答を導き出しましょう。

1. 三角形ABCの辺の長さを求める

問題: 三角形ABCは正三角形で、その内点Pについて、PA=2, PB=23, PC=4が与えられたとき、三角形ABCの1辺の長さを求めなさい。

この問題を解くためには、三角形の内点Pから各辺への距離に関する定理や公式を利用します。正三角形の内点に関する幾何学的なアプローチが必要となります。具体的な計算は、三角形の性質を元にした証明を経て、辺の長さを求めます。

問題: 長方形ABCDで、その内点Pについて、PA＝3, PB=4, PC=5が与えられたとき、PDの長さを求めなさい。

長方形内の点Pから各頂点への距離を利用して、PDを求めます。ピタゴラスの定理を使った解法で、各辺の長さや距離を関連付ける方法が重要です。必要な公式を使って計算を行い、PDの長さを導きます。

問題: 定価の2割5分引きで売っても2%の利益が出るようにするためには、定価を仕入れ値の何割何分増しにすればよいか求めなさい。

定価設定に関する商業問題です。利益率を求めるために、定価と仕入れ値との関係を計算します。割引後の価格と利益率を元に、どのくらいの割合で定価を設定する必要があるかを算出します。

問題: 絶えず水が湧き出している井戸があり、この井戸の水をポンプ11台で汲みだす場合、何分間で汲みつくすことができますか？

ポンプの数と時間の関係を利用した問題です。4台では25分、6台では10分で汲みつくすことができるので、比例の関係を使ってポンプ11台の場合の時間を求めます。これは仕事の割合を計算する問題です。

問題: 午後5時から午後6時の間で、長針と短針のなす角が90°になる時刻を求めなさい。

時計の針が作る角度を求める問題です。時計の針の動きに関する公式を使い、長針と短針のなす角度が90°になる瞬間を計算します。この問題では、時間と角度の関係を理解し、計算を通じて求めます。

これらの発展問題では、さまざまな数学的手法を使用して解答を導きました。幾何学的な問題から商業問題、比例問題、時計の角度問題まで、数学の多岐にわたる概念を使いこなすことが求められます。それぞれの問題をしっかりと理解し、解法の手順を確認することで、数学の力を深めることができます。