△ABCの三角形の問題：∠Aの二等分線と辺BCの交点について

△ABCにおいて、AB>ACとする条件で、∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとしたとき、以下の選択肢のうち、常に成り立つものはどれかを求める問題です。問題に出てくるそれぞれの条件に対して、どのように考えればよいのかを解説します。

1. 二等分線定理とは？

まず、この問題を解くために理解しておくべきことは「二等分線定理」です。この定理によると、三角形の二等分線は、二つの辺に対して比例的な関係を持つ点を形成します。すなわち、∠Aの二等分線が辺BCと交わる点Pにおいて、BP/PC = AB/AC となります。

次に、問題の各選択肢について順番に見ていきましょう。

この条件が成り立つためには、BPとPCが等しい必要があります。しかし、二等分線定理から分かるように、BPとPCはABとACの長さに比例します。したがって、ABとACが等しい場合に限りBP=PCになります。しかし、問題文ではAB>ACとされているため、この条件は成り立ちません。

AB>ACであることが与えられています。これにより、APもABより短くなることが分かります。この選択肢は成り立ちます。

ACの長さがABよりも短いため、APがACよりも短いことが予測されます。この選択肢は成り立たない場合があります。

二等分線定理に基づいて、ACとAPの関係を考えると、AC>CPが成り立つことが確認できます。この選択肢は常に成り立つ条件です。

この問題において、二等分線定理を理解し、それに基づいて各選択肢を検討することが重要です。最終的に、常に成り立つ条件として②AB>APと④AC>CPが正しい選択肢であることが分かりました。