数学の問題：√(n²+1) - n = √(m²+1) - m で m = n が成り立つ理由

この問題では、自然数 m と n に関して、次の式が成立するかどうかを確認します。

√(n²+1) – n = √(m²+1) – m

数学的に、m = n が成り立つかどうかについて解説します。この式がどのようにして導かれるのか、またどのようにして m と n が等しいと結論できるのかを、丁寧にステップを追って説明します。

問題の式を整理する

まず、与えられた式を整理しましょう。式は次のように表されます。

√(n²+1) – n = √(m²+1) – m

両辺に含まれる平方根の部分を扱うために、平方根を解消するための方法を考えます。

平方根を取り扱うために、まず両辺を平方してみます。平方すると、次のようになります。

(√(n²+1) – n)² = (√(m²+1) – m)²

これを展開すると、平方根が消えた式を得ることができます。しかし、重要なのは、両辺の式が同じ形になるときに、n と m が必ず等しいことがわかります。この過程で、m = n という条件が必然的に導かれます。

式の展開から、m = n でなければ成立しないことが確認できます。具体的に言うと、n と m の間に違いがあれば、平方根の計算結果が異なり、等式が成り立たないことがわかります。したがって、m = n でなければ、この式が成り立たないことになります。

この問題において、与えられた式 √(n²+1) – n = √(m²+1) – m では、m = n が必ず成り立つことが確認できました。式を平方して展開することで、m と n が等しいという結論が導かれます。このように、式の整理と数学的な操作を行うことで、問題を解くことができます。