複素数の絶対値を求める際、共役複素数を使う方法は非常に有効です。質問で出てきたように、分母に共役な複素数をかけて実数にしてから絶対値を計算する方法は、標準的な手法の一つです。この記事では、複素数の絶対値を求める方法と、共役複素数を使った計算の過程をわかりやすく解説します。
複素数の絶対値とは？
複素数の絶対値は、複素数が原点からどれだけ離れているかを示す値です。複素数a + biの絶対値は、√(a² + b²)と計算されます。これにより、複素数が平面上でどれくらいの距離にあるのかを視覚的に把握することができます。
たとえば、複素数3 + 4iの絶対値は、√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5となります。
共役複素数を使った計算方法
問題にある「(3 + 4i) / (4 + 3i)」のような複素数の商を計算する際、分母に共役な複素数をかけることがよく行われます。これは分母を実数に変換するための方法です。具体的には、次のように計算します。
(3 + 4i) / (4 + 3i) × (4 – 3i) / (4 – 3i)
これにより、分母は実数になります。計算を進めると、分子と分母は次のように展開されます。
分子： (3 + 4i)(4 – 3i) = 12 – 9i + 16i – 12 = 7 + 7i
分母： (4 + 3i)(4 – 3i) = 16 – 9(-1) = 16 + 9 = 25
絶対値の計算
分母が実数になったので、次に絶対値を求めます。式は次のようになります。
|(3 + 4i) / (4 + 3i)| = |(7 + 7i) / 25| = |7 + 7i| / 25
ここで、|7 + 7i|を求めると、√(7² + 7²) = √(49 + 49) = √98 ≈ 9.9となります。したがって、最終的な絶対値は。
9.9 / 25 ≈ 0.396
なぜ0.079になるのか？
解答冊子では0.079になる理由を尋ねていますが、この問題を単に計算しただけでは、0.079という値にはならないことがわかります。もし最終的な答えが0.079になっている場合、他に何か別の計算ミスや変換が含まれている可能性があります。具体的な値を確認するためには、問題の設定や他のステップを再確認する必要があります。
まとめ
複素数の絶対値を求めるためには、共役複素数を使って分母を実数に変換し、その後、絶対値を計算します。この方法は、複素数の商を計算する際に非常に有効です。計算が一致しない場合には、他のステップに間違いがないか再確認することが重要です。
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