確率の計算: 300個の中で7つの当たり、6回目までに2つの当たりが出る確率

確率に関する質問は、日常生活でもしばしば登場します。特にランダムな出来事や抽選などでは、確率を計算することが重要です。ここでは、300個の中から7つの当たりがあり、そのうち6回目までに2つの当たりが出る確率を求める問題を解説します。

1. 問題の理解

この問題では、300個のアイテムのうち7つが当たりであると仮定します。これに基づいて、6回の抽選で2つの当たりが出る確率を計算することが求められています。問題を整理すると、以下の条件が明確になります。

この確率問題は、二項分布に基づいて解くことができます。二項分布は、成功回数が固定されている試行で、各試行が独立である場合に使われます。具体的には、6回のうち2回当たりが出る確率を求めます。

二項分布の確率質量関数(PMF)は以下の式で表されます。

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 – p)^(n – k)

ここで、nは試行回数、kは成功回数（当たりの数）、pは成功の確率（当たりの確率）、C(n, k)は二項係数です。

まず、成功確率pを計算します。300個の中で7つが当たりなので、p = 7/300です。次に、k = 2、n = 6の場合の二項分布を使って確率を計算します。二項係数C(6, 2)は6回の試行から2回成功する場合の組み合わせを表し、以下のように計算できます。

C(6, 2) = 6! / (2!(6 – 2)!) = 15

したがって、確率P(2回当たりが出る)は、以下のように求められます。

P(2回当たり) = 15 * (7/300)^2 * (293/300)^4

計算結果を得ることで、6回の抽選で2つの当たりが出る確率を明確にすることができます。このような確率の計算を通じて、日常生活でのランダムな事象に対する理解が深まります。

確率の計算は、特定のシナリオを分析し、予測を立てるために非常に役立ちます。この問題を解くことで、確率の基本的な考え方や計算方法を学ぶことができます。