不等式の解法：-1≦x-1≦2から0≦|x-1|≦2になる理由

数学の不等式の問題で、「-1≦x-1≦2」と「0≦|x-1|≦2」の関係について疑問を持つことがあります。この問題は、絶対値を含む不等式の取り扱いに関連しています。この記事では、なぜ「-1≦x-1≦2」から「0≦|x-1|≦2」となるのか、その理由をわかりやすく解説します。

絶対値と不等式の基本

まず、絶対値とは何かを理解することが重要です。絶対値とは、数直線上でその数が原点からどれだけ離れているかを示す値です。例えば、|a|はaが0からどれだけ離れているかを表します。

「|x-1|≦2」という不等式は、「x-1」の絶対値が2以下であることを意味します。これを展開すると、x-1が-2以上2以下であることがわかります。すなわち、-2≦x-1≦2となります。

次に、「-1≦x-1≦2」という不等式を考えます。この不等式は、x-1が-1以上2以下であることを示しています。ここで、両辺に1を加えると、xが0以上3以下であることがわかります。

この不等式を整理すると、「0≦x≦3」となり、これは絶対値を使った不等式「0≦|x-1|≦2」と同じ解になります。なぜなら、|x-1|≦2は、xが1から2の範囲にあることを示しており、0≦|x-1|≦2はxが0以上3以下であることを示しています。

絶対値を含む不等式の変形では、次の2つのケースを考えます。

今回の場合、「|x-1|≦2」の不等式は、-2≦x-1≦2という形に変形できます。この形から、x-1の範囲を求め、その後xの範囲を導きます。

「-1≦x-1≦2」という不等式を変形すると、「0≦|x-1|≦2」となります。絶対値を使った不等式の解法では、まず絶対値の定義を理解し、次に不等式を適切に変形することが重要です。この方法を覚えることで、絶対値を含むさまざまな不等式を効率よく解くことができます。