関数 y = ax³ + bx² + cx + d の極値に関する条件を求める問題は、微分を用いて解くことができます。本記事では、1つまたは2つの極値を持つための条件を、ステップごとに分かりやすく解説します。
極値を持つ条件の基本
極値とは、関数のグラフが最小または最大となる点であり、その点で微分係数（導関数）が0になります。したがって、極値を求めるためには、まず関数 y = ax³ + bx² + cx + d の導関数を求め、その導関数が0になる点を求めます。
関数 y = ax³ + bx² + cx + d の導関数は、y’ = 3ax² + 2bx + c です。次に、この式を使って極値が1つまたは2つである条件を求めます。
1つの極値を持つための条件
1つの極値を持つためには、導関数 y’ = 3ax² + 2bx + c の解が1つである必要があります。すなわち、2次方程式 3ax² + 2bx + c = 0 が1つの解しか持たないということです。
2次方程式が1つの解を持つための条件は、判別式 D が0であることです。判別式 D は次のように求められます。
D = (2b)² - 4(3a)(c) = 4b² - 12ac
この判別式が0であれば、方程式は1つの解を持ち、つまり極値は1つだけ存在します。したがって、1つの極値を持つための条件は次のようになります。
4b² - 12ac = 0
2つの極値を持つための条件
2つの極値を持つためには、導関数 y’ = 3ax² + 2bx + c の解が2つである必要があります。すなわち、判別式 D が正であることが条件です。
判別式 D が正であれば、2次方程式 3ax² + 2bx + c = 0 は異なる2つの解を持ち、それに対応する2つの極値が存在します。したがって、2つの極値を持つための条件は次のようになります。
4b² - 12ac > 0
極値が1つまたは2つであるためのまとめ
1つの極値を持つための条件は、判別式 D = 4b² – 12ac = 0 であり、2つの極値を持つための条件は、D = 4b² – 12ac > 0 です。このように、微分を用いて導関数の解を求め、その判別式を使って極値の個数を求めることができます。
この方法を理解することで、関数が持つ極値の数を簡単に求めることができ、より高度な微分計算にも応用できます。
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