高校数学の確率でよくある問題の一つに、袋から玉を取り出す操作が絡む問題があります。特に、操作を繰り返す場合の確率を求める際、根元事象を正しく考えることが大切です。今回は、具体的な問題を通して根元事象の考え方とその解法について解説します。
1. 根元事象とは？
根元事象とは、確率を求める際に、各試行ごとに考慮するべき基本的な出来事のことです。問題においては、袋から玉を取り出すという操作を単一の事象として捉え、その確率を計算するために必要な全ての選択肢を考えます。根元事象を正しく設定することで、確率計算が整理され、理解が深まります。
2. 問題①: 1回の操作で袋Aに赤玉が白玉より多くなる確率
まず、操作1を1回行った場合の確率を考えます。袋Aから玉を取り出す場合、赤玉か白玉がランダムに取り出され、その後もう片方の袋に入れられます。この操作を繰り返すことにより、袋Aの赤玉と白玉の個数が変動します。赤玉が白玉より多くなるためには、袋Aに赤玉が追加される確率が、白玉が追加される確率よりも高い必要があります。根元事象としては、袋Aから赤玉が取り出される場合と袋Aから白玉が取り出される場合のそれぞれに対して計算を行います。
3. 問題②: 操作2回後に袋Aが全て赤玉である確率
次に、操作1を2回行った場合の袋Aが全て赤玉である確率を求めます。ここでも根元事象をしっかりと把握することが必要です。操作1が2回行われる場合、各操作で袋Aから玉が取り出され、袋Aと袋Bの玉の数が変動します。袋Aが全て赤玉になる条件を満たすために、2回の操作でどのような組み合わせが必要かを考え、その確率を求めます。
4. 根元事象を設定するためのアドバイス
根元事象を設定するためには、問題文から重要な情報を読み取り、試行ごとの選択肢を明確にすることが大切です。例えば、袋Aから赤玉や白玉を取り出す確率を個別に計算し、その後で全体の確率を求めます。また、確率の計算を進める際に、試行回数や選択肢がどう変化するかを常に意識しましょう。
まとめ
確率の問題で根元事象を正しく設定することは、問題解決の鍵となります。複雑に見える問題も、根元事象を意識して整理することで、解きやすくなります。今回のように袋から玉を取り出す問題では、各操作ごとの確率を細かく分けて考えることが重要です。
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