微分可能性の確認方法：数学Ⅲの問題解法

高校数学の数学Ⅲでよく出題される問題の一つが、ある点x=kで関数が微分可能かどうかを調べる問題です。この問題を解くために必要な条件や考え方について、わかりやすく解説します。

1. 微分可能性の定義

関数がある点で微分可能であるとは、その点で導関数（微分係数）が存在することを意味します。数学的には、x=kで微分可能であるためには、まずx=kで関数が連続していることが必要です。

さらに、x=kでの微分可能性を確認するためには、x=kにおける導関数の極限が存在し、有限の値に収束することが求められます。

微分可能性のための必要条件は、まず関数がその点で連続していることです。もし関数が連続でない場合、その点で微分可能であることはありません。

具体的には、x=kでの連続性を確認するために、次の3つの条件を満たす必要があります。

x=kで関数が微分可能かどうかを確認するためには、次の2つの条件をチェックします。

具体的に、f'(x) = lim (h → 0) [(f(k+h) – f(k)) / h] という極限を計算することで、x=kでの微分可能性を確認します。

例えば、関数f(x) = x^2でx=2での微分可能性を確認する場合を考えます。まず、f(x)はx=2で連続しています（lim (x → 2) f(x) = f(2)）。次に、導関数f'(x)を求めると、f'(x) = 2xとなり、x=2でf'(2) = 4となります。

したがって、x=2での微分可能性は確認でき、またその導関数は4であることがわかります。

関数がx=kで微分可能かどうかを調べる際は、まずその点での連続性を確認し、次に導関数の極限が存在し、有限の値に収束するかをチェックします。これらのステップを踏むことで、微分可能性を正しく判定できます。