定数分離を用いた数学の問題解法について、具体的な解き方を解説します。質問者が取り組んでいる問題とその解法の過程を詳しく説明し、定数分離がどのように役立つのかを解き明かします。
問題の概要と解法の方針
質問者の問題は、与えられた関数を用いて定数aの範囲を求める問題です。f(x)=9^x – 2a·3^(x+1) – 6a+3という式に対して、aの範囲を求めるために、定数分離を使う方法が求められています。この問題を解くためには、まず式を適切に変形し、判別式を使って解の範囲を求める方法を見ていきます。
定数分離とは何か
定数分離とは、式を変形して変数と定数を分けて、解法を進める方法です。定数分離は、特に指数関数や対数関数を含む式において、非常に有効です。これにより、方程式が簡単になり、解を見つけやすくなります。今回の問題では、式を変形して新たな変数tを導入し、tを使って方程式を解く手法が使われます。
式の変形と解法
質問者が行ったように、t=3^x（ただしx>0）とおくことで、指数関数を二次方程式に変換できます。この変形により、元の式はt^2 – 6at – 6a + 3 = 0という二次方程式に変わります。この形であれば、判別式を使って解の範囲を求めることができます。
式の変形において、a(t+1) = (1/6)t^2 + 1/2という式を使う方法もありますが、実際には判別式を使う前の段階で十分に計算が進んでいることがわかります。したがって、t^2 – 6at – 6a + 3 = 0に判別式を適用するだけで解けます。
判別式を使った解の求め方
判別式を使って解の個数を求めるためには、まず二次方程式の判別式Δを計算します。二次方程式ax^2 + bx + c = 0において、判別式Δは次のように求められます。
Δ = b^2 – 4ac
この判別式が正の値であれば二つの異なる実数解が存在し、0であれば重解、負の値であれば実数解は存在しません。今回の問題では、判別式を計算して、aに対して解が存在する範囲を求めます。
まとめ
定数分離を使って数学の問題を解く際、変数と定数をうまく分けて式を整理することが重要です。今回の問題では、t = 3^xという変数の置き換えを行うことで、二次方程式に変換し、判別式を使って解の範囲を求める方法が有効でした。この方法を使うことで、問題が整理され、効率的に解くことができることがわかりました。
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