数学の問題で、放物線と直線の交点を求めることはよくありますが、交点を利用して面積を求める問題もよく出題されます。特に、放物線y=kx²（k>0）と直線y=x+3の交点を用いた面積計算は、計算と図形の理解を必要とする問題です。この記事では、座標平面上で与えられた条件をもとに、△ABCと△DBCの面積が等しいときの点Dの座標を求める方法を詳しく解説します。
問題の概要とグラフの描画
問題では、放物線y=kx²（k>0）と直線y=x+3が与えられています。さらに、放物線上の3点A、B、Cのx座標はそれぞれ-2、6、-8であり、点AとBは直線y=x+3と放物線の交点です。
また、点Dは放物線上にあり、x座標は-2より大きく、6より小さいという条件があります。求めるのは、△ABCの面積Sと△DBCの面積Tが等しいときの点Dの座標です。
放物線と直線の交点を求める
まず、放物線y=kx²と直線y=x+3の交点を求めます。交点を求めるために、放物線と直線の式を連立させます。
y=kx²とy=x+3を連立すると、k*x²=x+3となります。これを解くことで、xの値を求めることができます。これが点Aと点Bのx座標です。
△ABCと△DBCの面積の計算方法
次に、△ABCと△DBCの面積を求めます。面積の公式を使い、三角形の面積は、3つの頂点の座標をもとに計算することができます。
三角形ABCの面積Sは、次のように計算できます。三角形の面積は、頂点の座標(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)に対して次の式で求められます。
S = 1/2 * |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
面積SとTが等しいときの点Dの座標
次に、△ABCの面積Sと△DBCの面積Tが等しいときの点Dの座標を求めます。この条件を使って、点Dの座標を求めるために、面積の公式を利用して連立方程式を解きます。
点Dが放物線上にあり、x座標が-2より大きく6より小さいという制約があるため、この範囲内で点Dを求めることができます。面積が等しいという条件を使って、具体的な座標を求めます。
まとめ
この問題では、放物線と直線の交点を求め、三角形の面積を計算する方法を学びました。△ABCと△DBCの面積が等しいとき、点Dの座標を求めるためには、面積公式と連立方程式をうまく活用することが大切です。数学の問題を解く際には、与えられた条件をしっかりと読み取り、適切な計算を行うことが重要です。
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