この問題では、p^3が(p-1)!!+1を割り切るような素数pを求めることが求められています。まず、(p-1)!!がどのように定義されるか、またその計算方法について理解することが重要です。この記事では、具体的な解法手順をわかりやすく解説します。
1. (p-1)!!の定義と計算方法
まず、(p-1)!!という記号について説明します。この記号は、「p-1までの奇数の積」を意味します。例えば、p = 7 の場合、(p-1)!! は 6!! = 1×3×5 となります。
つまり、(p-1)!!は p-1 までの奇数の積として計算されます。この定義を基に、問題を進めていきます。
2. 問題設定と方程式
問題は、p^3 が (p-1)!! + 1 を割り切る素数 p を求めるというものです。これを数式で表すと、次のようになります。
p^3 = k × ((p-1)!! + 1) となるような k が存在する素数 p を求める
ここで、(p-1)!! を計算し、それに 1 を足したものが p^3 の約数である必要があります。この条件を満たす素数を求めることが目標です。
3. 実際に計算してみる
まず、いくつかの素数について (p-1)!! + 1 を計算し、それが p^3 を割り切るかを確認します。
例えば、p = 3 の場合。
(p-1)!! = 2!! = 1 なので、(p-1)!! + 1 = 2 となり、p^3 = 27 です。
したがって、27 は 2 で割り切れないため、この p は解ではありません。
次に、p = 5 の場合。
(p-1)!! = 4!! = 1×3 = 3 なので、(p-1)!! + 1 = 4 となり、p^3 = 125 です。
125 ÷ 4 = 31.25 で割り切れないため、これも解ではありません。
さらに、p = 7 の場合。
(p-1)!! = 6!! = 1×3×5 = 15 なので、(p-1)!! + 1 = 16 となり、p^3 = 343 です。
343 ÷ 16 = 21.4375 で割り切れないため、この p も解ではありません。
4. 解の発見とその検証
上記のように、いくつかのpについて計算してみましたが、割り切れるpが見つからない場合もあります。しかし、より多くの素数に対して同様の計算を行うことで、正しい解を発見できる場合があります。
これらの計算は、問題の解法における重要なステップとなり、最初に求めるべき解が何であるかを明確にする助けとなります。
5. まとめ
p^3が(p-1)!!+1を割り切る素数pを求める問題は、(p-1)!!の計算方法を理解し、いくつかの素数に対して割り切れるかどうかを確認することが鍵となります。最終的に、正しい解を求めるためには、計算を丁寧に行い、理論的な背景をしっかりと押さえて進めていくことが重要です。
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