モデル理論における体と環の表し方の違いについて

モデル理論では、体と環の違いは重要な概念ですが、これらの数学的構造はどのように表現されるのでしょうか？本記事では、環と体の定義を振り返り、どのように異なる表現がなされるのかを説明し、質問に対する解答を試みます。

1. 環と体の定義

環は、加法と乗法という二つの演算を持つ集合であり、加法に関してアーベル群として機能し、乗法に関しては結合法則を満たすものの、必ずしも逆元を持つわけではありません。対して、体は環の一種で、すべての非ゼロ元が乗法における逆元を持つという特徴があります。

モデル理論では、数学的構造を記号化するための言語（L）が必要です。環の場合、例えばL={+,×,0,1,-＊}といった形式で、加法、乗法、単位元、逆元（加法における逆元）などを記述します。この言語における関数記号として、加法や乗法の逆元を示す記号を使用することができます。

体では、環の定義に加えて、0でない元は全て乗法における逆元を持つため、Lに新たに＊^(-1)という記号を追加することになります。この記号は、乗法逆元を表し、体Fにおける写像F→Fとして解釈されます。

体においては、0自体に逆元は存在しません。したがって、言語Lにおける＊^(-1)記号が0に対応する元を持つことはありません。体の構造では、0に関して逆元が存在しないという特性が反映されます。

モデル理論における体と環の表し方には重要な違いがあります。環では逆元の存在に制約がありますが、体ではすべての非ゼロ元に逆元が存在します。これを記述するために言語Lにおける記号が異なり、特に＊^(-1)記号は体に特有のものです。