関数の最大値と最小値を求める方法：y=ax²+2ax+bのaとbの値を決定する

関数 y = ax² + 2ax + b の最大値と最小値を求める問題では、与えられた条件をもとに定数aとbの値を決定する必要があります。この記事では、最大値と最小値がそれぞれ6と3である条件をもとに、aとbの値を求める方法を解説します。

1. 問題の整理と方程式の設定

まず、与えられた関数は y = ax² + 2ax + b です。この関数において、xの範囲は -2≦x≦1 です。また、最大値が6、最小値が3という条件が与えられています。これをもとに、aとbの値を求めていきます。

この関数は二次関数であり、最大値と最小値がxの範囲内でどこに現れるかを調べる必要があります。

二次関数のy = ax² + 2ax + b は、標準形に変換することができます。平方完成を使って、次のように変形します。

y = a(x² + 2x) + b

ここで、(x² + 2x) は平方完成して (x + 1)² – 1 となります。したがって、次のように書き直せます。

y = a((x + 1)² – 1) + b = a(x + 1)² – a + b

この式から、二次関数の頂点が x = -1 にあることがわかります。頂点のy座標が最大値または最小値になります。

次に、x = -1 のときのyの値を求めます。x = -1 のとき、yは次のように求められます。

y = a(-1 + 1)² – a + b = -a + b

したがって、x = -1 のとき、y = -a + b です。このyの値が最大値6または最小値3になるように、aとbの関係式を設定します。

次に、x = -2 と x = 1 のときのyの値も求めます。これにより、最大値と最小値を確認できます。

まず、x = -2 のとき。

y = a(-2)² + 2a(-2) + b = 4a – 4a + b = b

したがって、x = -2 のときのyは b です。

次に、x = 1 のとき。

y = a(1)² + 2a(1) + b = a + 2a + b = 3a + b

したがって、x = 1 のときのyは 3a + b です。

最大値が6、最小値が3という条件を使って、次の2つの方程式を立てます。

この2つの式から、b = 3 を代入して -a + 3 = 6 となり、a = -3 が得られます。

したがって、a = -3、b = 3 となります。

関数 y = ax² + 2ax + b の最大値が6、最小値が3という条件を満たすために、aとbの値はそれぞれ a = -3, b = 3 であることがわかりました。これにより、与えられた範囲内での最大値と最小値が正しく求められるようになります。