条件 |x² + ax + b| ≦ |x²| が成り立つxの範囲について解説

「|x² + ax + b| ≦ |x²|」が成り立つ条件について、この問題を詳しく解説します。この記事では、式をどのように扱い、xに関して成り立つ条件を求める方法について説明します。

問題の理解：|x² + ax + b| ≦ |x²|とは？

この式は、xに関して与えられた不等式です。絶対値を含む式において、どのような条件が満たされるとこの不等式が成り立つのかを解く必要があります。まず、絶対値の定義に従って不等式を分けて考える必要があります。

絶対値の定義により、この不等式を次のように分けて考えます。

それぞれのケースについて不等式を解くことで、条件を明確にすることができます。

まず、x² + ax + b ≦ x² を解きます。両辺からx²を引いて、ax + b ≦ 0 という不等式になります。この不等式が成り立つxの範囲を求めるためには、ax + b ≦ 0 の解を求める必要があります。

ax + b ≦ 0 の解は、x ≦ -b/a となります。したがって、この不等式が成り立つためにはxが -b/a 以下である必要があります。

次に、-(x² + ax + b) ≦ x² を解きます。まず、両辺に -1 を掛けて x² + ax + b ≧ -x² となり、これを解くと 2x² + ax + b ≧ 0 という不等式になります。

この不等式を解くことで、xがどの範囲で成り立つかを求めることができます。解はxが2つの解を持つ二次方程式になります。

|x² + ax + b| ≦ |x²| が成り立つxの条件は、2つのケースに分けて解いた結果、xが -b/a 以下、または2次方程式の解を満たす範囲内にあることが必要です。具体的には、xの範囲は解により決まりますが、一般的にはx ≦ -b/a の条件を満たす必要があります。