実数xに対して成り立つ不等式 |x²+ax+b|≦|x²| の条件を求める

「|x²+ax+b|≦|x²|」がどのような実数xに対して成り立つかを求める問題では、定数aとbを適切に決定する必要があります。本記事では、この不等式を解くための方法をステップバイステップで解説します。

1. 問題の整理

与えられた不等式は、|x² + ax + b| ≦ |x²| です。この不等式が成り立つためには、どのような条件が必要かを考えます。ここでxは実数です。

まず、この不等式が意味するところを整理します。絶対値の中身が正か負かによって場合分けが必要になります。これを解決するために、xの範囲やa、bの関係を明らかにしていきます。

まず、|x² + ax + b| ≦ |x²| の場合において、x² + ax + b が正の場合と負の場合で考えます。x²は常に非負の値を取るため、まずx²の絶対値をそのままx²として扱います。

1. x² + ax + b ≧ 0 の場合：この場合、|x² + ax + b| = x² + ax + b となります。したがって、不等式は次のように変わります。

x² + ax + b ≦ x²

これを整理すると、ax + b ≦ 0 となります。この式が成り立つためには、aとbに特定の条件が必要です。

2. x² + ax + b < 0 の場合：この場合、|x² + ax + b| = -(x² + ax + b) となります。したがって、不等式は次のように変わります。

-(x² + ax + b) ≦ x²

これを整理すると、-x² – ax – b ≦ x² となり、さらに整理すると、-2x² – ax – b ≦ 0 という式が得られます。この式もaとbに依存する条件を導きます。

不等式を解くために、上記の式からaとbの関係を求めます。まず、ax + b ≦ 0 の場合と -2x² – ax – b ≦ 0 の場合で、それぞれaとbの条件を導きます。

まず、ax + b ≦ 0 からaとbの関係を求めると、a ≦ 0 と b ≦ 0 の条件が得られます。また、-2x² – ax – b ≦ 0 の場合からは、aとbの値が制約されます。このようにして、aとbの具体的な値が決定されます。

最終的に、与えられた不等式 |x² + ax + b| ≦ |x²| が成立するためには、aとbが特定の範囲に収まる必要があることがわかります。具体的には、a ≦ 0 かつ b ≦ 0 の条件を満たすaとbの値が求められます。

この結果から、与えられた不等式を満たすためのaとbの範囲が決定されます。これにより、実数xに対して不等式が成立する条件が明確に求められることになります。

関数の不等式 |x² + ax + b| ≦ |x²| を満たすaとbの条件を求めるために、まず場合分けを行い、aとbの制約条件を求めました。最終的に、a ≦ 0 かつ b ≦ 0 の条件が必要であることがわかりました。これにより、与えられた不等式が成り立つaとbの範囲が求まります。