5進法と7進法の表示で、同じ自然数が5桁の数字として表される範囲を求める問題です。今回は、その範囲を求めるための方法を解説します。問題文にある「ア<=a<=イ」を満たす数字の範囲を、5進法および7進法の表現を使ってどのように求めるのかをステップバイステップで説明します。
5進法と7進法の理解
まず、5進法と7進法がどのようなものかを理解することが大切です。
- 5進法では、数字は0, 1, 2, 3, 4の5種類の数字を使って表現されます。
- 7進法では、数字は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の7種類の数字を使って表現されます。
これにより、同じ桁数でも、使用する数字の数が異なるため、表現できる数の範囲が異なります。
5進法で5桁の自然数の範囲
5進法で5桁の自然数の最小値は、00000（0）です。そして、最大値は、すべての桁が4で埋められた数となります。
44444（5進法）を10進法に変換すると、次のように計算できます。
4 × 5⁴ + 4 × 5³ + 4 × 5² + 4 × 5¹ + 4 × 5⁰ = 4 × 625 + 4 × 125 + 4 × 25 + 4 × 5 + 4 × 1 = 2500 + 500 + 100 + 20 + 4 = 3124
したがって、5進法で5桁の自然数は、0から3124までの範囲です。
7進法で5桁の自然数の範囲
次に、7進法で5桁の自然数の範囲を求めます。7進法では、最小値は00000（0）で、最大値は55555（7進法）となります。これを10進法に変換すると。
5 × 7⁴ + 5 × 7³ + 5 × 7² + 5 × 7¹ + 5 × 7⁰ = 5 × 2401 + 5 × 343 + 5 × 49 + 5 × 7 + 5 × 1 = 12005 + 1715 + 245 + 35 + 5 = 13805
したがって、7進法で5桁の自然数は、0から13805までの範囲です。
範囲を求める：アとイの値
「ア<=a<=イ」という条件で求めると、アとイの値は次のように求められます。
- ア = 3124（5進法で5桁の最大値）
- イ = 13805（7進法で5桁の最大値）
この範囲で、両方の進法で5桁の数字が共通する範囲を表すことができます。
まとめ
5進法と7進法で5桁の自然数の範囲を求めるためには、まず各進法で5桁の最大値を計算し、それに基づいて範囲を定めることが必要です。最終的に、アとイの値は、5進法で3124、7進法で13805であることが分かりました。このように、異なる進法で表される数の範囲を比較することで、問題を解決することができます。
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