この問題は、数学的な応用問題の中でも特に難易度が高い部類に入ります。楕円を回転させて得られる立体の体積を求めるためには、積分や断面積の計算、さらには回転体の体積を求めるための手法を理解していることが必要です。この記事では、問題文に出てくる重要な要素について解説し、体積を求めるためのアプローチ方法を紹介します。
問題の概要
与えられた問題では、まず楕円C: (x-1)²/4 + y² = 1 があり、これをx軸のまわりに回転させて得られる曲面Sを考えます。曲面Sの内部を表す領域をDとし、その後、曲面Sをy軸のまわりに回転させて得られる立体の体積Vを求めます。問題の難しさは、立体を得るために2回の回転を考慮することです。
楕円の回転による曲面の形成
まず、楕円Cをx軸のまわりに回転させると、得られる曲面Sは円環状の立体になります。これは、x軸を中心に楕円を回転させることで、横方向に広がる円環状の曲面が生成されるためです。次に、この曲面Sをy軸のまわりに回転させると、さらに複雑な立体が得られ、最終的な体積を求めるためには、回転体の体積公式を使って積分を行います。
曲面Sが形成される過程では、断面の形状が重要です。特に、断面が楕円であるため、円環の半径が回転する度に変化し、それに基づいて体積を計算します。
断面積を求める方法
曲面Sをy軸のまわりに回転させる前に、まずは断面積を求めます。断面積は、y=kの位置での断面を考え、そこからx軸とz軸を使って計算を行います。問題文では、断面が楕円であり、楕円の長さが変化することを考慮しなければなりません。したがって、断面積は楕円の式を使って積分を行い、最終的な回転体の体積を求めるための基礎となります。
この断面積の計算では、与えられた条件を基にして、x軸およびz軸方向に関するパラメータを整理し、積分範囲を決める必要があります。特に、与えられた楕円の式をうまく利用してz軸を消去し、xとyの関係を確立することが重要です。
体積Vの計算方法
体積Vを求めるためには、回転体の体積公式を使用します。この問題では、回転体の体積を求めるために積分を2回行う必要があります。1回目は楕円の回転から得られた曲面Sの内部領域Dの体積を求め、2回目はその曲面をy軸のまわりに回転させた際に得られる立体の体積を求めます。
体積Vを求めるための積分では、円環断面の半径の平方を積分して、最終的に立体全体の体積を求めます。このような手法を用いることで、回転体の体積を正確に計算することができます。
問題における角αの重要性
問題文で出てくる「sinα = √5/3」という角度の情報についてですが、これは回転に関する角度を示している可能性があります。この角度は回転体の形状を決定するために使用され、体積計算において重要な役割を果たします。ただし、この角度が必要な理由や計算過程での具体的な使用方法については、問題文をさらに詳細に解釈する必要があります。
一般的に、回転体の体積を求める際に角度が関与する場合、円環断面の半径の変化や、回転の向きが計算に影響を与えることがあります。角度αが登場する理由については、回転の設定や立体の対称性を確認し、必要に応じて取り入れましょう。
まとめ
この問題では、楕円を回転させることで得られる立体の体積を求めるために、積分のテクニックを2回使う必要があります。特に、楕円の回転体の断面積を求める際には、与えられた式を使ってz軸を消去し、適切な積分範囲を決定することが重要です。また、問題文で出てきた角度αがどのように関連するのかを正確に把握することも、解法を進める上での鍵となります。
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