エネルギー管理士試験で扱われる伝達関数 G(s) = K / (s^2 + s + K) における特性方程式の判別式 1 – 4K < 0 の導出方法について理解が必要な方も多いかと思います。この記事では、この判別式がどのように導かれ、振動的、非振動的、安定、または不安定な挙動を判断するための方法について詳しく解説します。
特性方程式と判別式の導出
伝達関数 G(s) = K / (s^2 + s + K) の特性方程式は、分母の s^2 + s + K = 0 に基づきます。この方程式は、システムの挙動を決定するために解くべき重要な式です。判別式は、この2次方程式の解の性質を解析するために使用されます。
2次方程式の解の性質は、判別式 Δ = b^2 – 4ac を使って求めることができます。ここで、a = 1、b = 1、c = K です。したがって、判別式は次のように計算されます。
Δ = 1^2 – 4(1)(K) = 1 – 4K
判別式 1 – 4K < 0 の解釈
判別式 1 – 4K < 0 の条件は、特性方程式の解が複素数となり、システムが振動的な挙動を示すことを意味します。この場合、解の実部が負であれば、システムは安定しており、振動しながらも時間とともに減衰します。
一方、判別式が 0 より大きければ、2つの実数解が得られ、システムは非振動的に挙動します。これらの解が負であれば安定ですが、正であれば不安定になります。
振動的、非振動的、安定、不安定な挙動の判断
システムの挙動を判断するためには、判別式と解の実部に注目します。具体的には次のように判断します。
- 振動的挙動：判別式 1 – 4K < 0 の場合、解が複素数であり、システムは振動的になります。解の実部が負であれば、振動しながらも減衰し、安定です。
- 非振動的挙動：判別式 1 – 4K > 0 の場合、実数解が得られ、システムは振動しません。解が負であれば安定、正であれば不安定です。
- 安定な挙動：解の実部が負であれば、システムは安定します。
- 不安定な挙動：解の実部が正であれば、システムは不安定になります。
まとめ：判別式を使ったシステムの挙動解析
伝達関数 G(s) = K / (s^2 + s + K) の特性方程式から導かれる判別式 1 – 4K < 0 は、システムの振動的挙動や安定性を判断するための重要なツールです。判別式の値によって、システムが振動するのか、非振動的に動作するのか、安定するのか不安定になるのかを予測できます。
このような振動解析をしっかりと理解することで、エネルギー管理士試験での問題解決能力を高めることができます。判別式の導出過程とその解釈をしっかりとマスターしましょう。
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