丨Z丨=1 のとき、zバー = 1/z が自明である理由と解説

「丨Z丨=1」の条件のもとで「zバー = 1/z」が自明かどうかについて、数学的な背景とともに詳しく解説します。

1. 絶対値と共役複素数の関係

まず「丨Z丨=1」という条件から始めます。ここで「Z」は複素数であり、その絶対値が1であるという意味です。この条件のもとでは、Zの共役複素数zバー（またはZのバー）は、Zと特別な関係を持つことがわかります。絶対値が1である複素数Zについては、Zとその共役複素数zバーは特定の数学的性質を持っています。

2. zバーと1/zの関係

次に「zバー = 1/z」という式が成り立つ理由について考えます。Zの絶対値が1であれば、Zとzバーは互いに逆数の関係にあることが確認できます。具体的には、Z * zバー = 丸1（つまり1）となります。これが意味するのは、zバーはZの逆数であるということです。このため、「zバー = 1/z」という式は自明です。

3. 計算例と具体的な解法

例えば、Z = cos(θ) + i sin(θ) と表せる複素数Zがあったとき、その共役複素数zバーはcos(θ) – i sin(θ) になります。Zの絶対値が1であるならば、この複素数とその共役複素数の積が1になることがわかります。この計算を行うことで、「zバー = 1/z」が成立することが理解できます。

4. 「zバー = 1/z」は必ず成立するか

この関係は、Zの絶対値が1である限り常に成立します。従って、Zが絶対値1を持つ場合は、zバーと1/zの関係は自明であり、この式を使うことでさまざまな問題が簡単に解けるようになります。

5. まとめ

「丨Z丨=1」の条件のもとでは、zバー = 1/zが自明な関係であることが確認できました。複素数の絶対値と共役複素数の関係を理解することで、この式が成立する理由が明確になります。もしもこの式をより深く理解したい場合は、複素数の性質や共役複素数についての基礎を復習することをお勧めします。