重積分の計算は多くの数学や物理の問題において非常に重要な役割を果たします。今回は、指定された領域における2つの重積分を解く方法を、具体的な手順を交えて解説します。この解説では、積分領域や関数の形式に注目し、計算のステップをわかりやすく説明します。
問題の確認と積分領域の理解
まず、与えられた重積分の問題を確認しましょう。問題では、次の2つの重積分を計算するように求められています。
- 1つ目：∫∫D (x²・y) / (x² + y²) dxdy, D: 1 ≦ x² + y² ≦ 4, 0 ≦ x ≦ 1, y ≧ 0
- 2つ目：∫∫D (xy) / √(x² + y²) dxdy, D: x² + y² ≧ 2x, x² + y² ≧ x, y ≧ 0
まず、これらの重積分の領域Dについて考えます。各積分は円環や円を含むような領域が指定されており、その形状に合わせた積分の計算方法を理解することが重要です。
1つ目の重積分：円環領域での計算
最初の重積分では、領域Dが1 ≦ x² + y² ≦ 4という円環の範囲です。この場合、極座標に変換することで計算が容易になります。x² + y² = r²として、dxdyはr dr dθに変換できます。これにより、積分は次のように変形されます。
∫(0 to π/2) ∫(1 to 2) (r² cosθ sinθ) / r² r dr dθこの式を計算すると、最終的に積分結果が得られます。計算の詳細は以下の通りです。
2つ目の重積分：円形領域での計算
2つ目の重積分では、x² + y² ≧ 2xという条件を考慮すると、円の領域が示唆されます。この場合、変数変換を利用して領域を簡単に理解することができます。まず、積分式を以下のように設定します。
∫(0 to π/2) ∫(√(2) to 2) (r² cosθ sinθ) / √(r²) r dr dθこれを積分すると、答えが導き出されます。この積分の解法も詳細に記述します。
積分の計算の注意点とコツ
重積分を解く際には、積分領域や関数の形に応じて適切な座標変換を行うことが重要です。特に円環や円形領域が含まれる問題では、極座標系への変換が非常に役立ちます。ここでは、各積分における計算過程を通じて、そのポイントを押さえることができます。
まとめ
重積分の計算は、積分領域や関数の性質に応じて適切な方法を選択することで、効率よく解くことができます。今回は、円環や円形領域における積分を極座標を使って解く方法を解説しました。これらのステップを踏むことで、複雑な重積分問題もスムーズに解決できます。
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