「(a+b)^2(b-a) = 243」の解法とその理解

「0＜a＜bで(a+b)^2(b-a)=243」という問題の解き方について、どのように式を立てていくのか、そしてなぜ「a+b = 3^2」と「b-a = 3」という連立式が導かれるのかを詳しく解説します。

1. 問題の整理

与えられた式は「(a+b)^2(b-a)=243」です。この式を解くためには、まず式を簡単にすることが重要です。問題文に出てきた243が「3^5」であることに注目し、因数分解を試みます。

2. 243を因数分解する

243は確かに3の累乗であり、具体的には「243 = 3^5」です。この知識を使って、式を「(a+b)^2(b-a) = 3^5」の形に変換します。ここで、「a+b」が何かの累乗であり、「b-a」が3であることを予測します。

3. 連立式を立てる

「a+b = 3^2」と「b-a = 3」という連立式を立てる理由は、式の形を簡略化して解くためです。なぜ「a+b = 3^2」と置くのかというと、243が3^5という数値であるため、a+bに関連する数値が3の累乗に関連することが予想されます。また、「b-a = 3」と置いたのは、この差を3にすることで簡単に解けると判断できるからです。

4. 解法と計算

次に、連立方程式「a+b = 9」と「b-a = 3」を解いていきます。この二つの式を使ってaとbの値を求めます。まず、a+b = 9とb-a = 3の2つを足し合わせると、bの値が求められます。その後、bの値を使ってaを求めます。

5. まとめ

「a+b = 3^2」と「b-a = 3」の連立式は、243を3^5と分解した結果として自然に導かれる式です。このように、与えられた式を因数分解し、予想される値を基に連立方程式を立てることで、問題を解くことができます。今回の問題のように、因数分解と連立方程式を組み合わせることで、より簡単に解ける場合があります。