「√5(9+n)(9-n) が自然数になるような自然数n を全て求めなさい」という問題を解く方法について解説します。まず、この問題を解くために必要な数学的アプローチを理解し、どのようにして自然数nを求めることができるかを一歩ずつ見ていきます。
問題の式の理解
問題の式は「√5(9+n)(9-n)」です。この式には平方根が含まれており、まずはその平方根を取り扱う方法を理解することが重要です。また、式に現れる(9+n)(9-n)の部分は、積の形になっています。
(9+n)(9-n)は「差の二乗」の公式を使って簡単に計算できます。公式は次の通りです。
(a+b)(a-b) = a² – b²
この公式を使って、(9+n)(9-n)を計算すると、次のように簡単化されます。
(9+n)(9-n) = 9² – n² = 81 – n²
式を簡単化する
式「√5(9+n)(9-n)」は、差の二乗の公式を適用して次のように変形できます。
√5(81 – n²)
次に、この式が自然数となるためには、平方根の中身、すなわち「5(81 – n²)」が完全な平方数でなければなりません。なぜなら、平方根の中身が平方数であれば、その平方根は自然数になります。
自然数nを求めるための条件
式√5(81 – n²)が自然数となるためには、(81 – n²)が5の倍数で、かつその結果が平方数である必要があります。まずは、(81 – n²)が5の倍数であるための条件を考えます。
81 – n²が5の倍数であるためには、n²が1である必要があります。n²が1の時、nは±1になりますが、自然数として考えるとn=1のみが適切です。
求められるnの値
n=1の場合、式は次のようになります。
√5(9+1)(9-1) = √5(10)(8) = √5 * 80 = √400 = 20
20は自然数なので、n=1は解となります。これで、問題の式が自然数になるためのnの値を求めることができました。
まとめ
「√5(9+n)(9-n) が自然数になるような自然数n」を求める問題は、差の二乗を使って式を簡単化し、平方根の中身が完全な平方数となるように条件を考えることで解決できました。最終的に、n=1が答えとなり、問題の式が自然数になることが確認できました。
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