不等式の解法でよく出てくる問題に、a(a – 4) > 0 という形のものがあります。これを解くためには、まず不等式の意味を理解し、どのように式を変形していくかが重要です。この記事では、この不等式の解き方と、a＜0、4＜aがどうして成り立つのかについて解説します。
不等式 a(a – 4) > 0 の意味
不等式 a(a – 4) > 0 は、a と a – 4 の積が正であるという条件を表しています。積が正であるためには、a と a – 4 がどちらも正、またはどちらも負である必要があります。
この不等式を解くためには、まず式を因数分解します。a(a – 4) はすでに因数分解された形です。このままで考えると、a と a – 4 が両方とも正または両方とも負である場合に積が正となります。
a＜0 になる理由
a(a – 4) > 0 を解くためには、まず a = 0 と a = 4 の2つの点を境に不等式を考えます。a = 0 または a = 4 では積が 0 になるので、a(a – 4) > 0 とはならず、この2点は解の範囲に含まれません。
次に、a＜0 の範囲を考えます。この場合、a が負であれば、a – 4 も負となり、負×負 で積が正になります。したがって、a＜0 の範囲で不等式は成り立ちます。
a＞4 になる理由
次に、a＞4 の範囲を考えます。この場合、a が4より大きければ、a – 4 も正となり、正×正 で積が正になります。したがって、a＞4 の範囲でも不等式が成り立ちます。
このように、a(a – 4) > 0 が成り立つのは、a＜0 または a＞4 の範囲です。つまり、不等式の解は a＜0 または a＞4 です。
「a – 4 ＞ 0」から「a＞4」への考え方
a – 4 ＞ 0 の不等式を解くと、a＞4 となります。この考え方は正しいです。a – 4 の項を移項して、a が 4 より大きい場合に成り立つ不等式です。したがって、「a – 4 ＞ 0」を解いて「a＞4」を得るのは適切な方法です。
まとめ
a(a – 4) > 0 の不等式を解くと、解は a＜0 または a＞4 となります。これを理解するためには、式を因数分解し、各範囲で積が正となる場合を考慮することが重要です。また、「a – 4 ＞ 0」の式を解くと、a＞4 という結果が得られることを確認しました。
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