中学数学：AB=3, AC=4の三角形におけるDB:BC=9:7と∠AED=135°の成り立つ理由

今回の質問では、三角形の辺の比や角度に関する問題について解説します。特に、AB=3、AC=4の三角形において、DB:BC=9:7という辺の比と、∠AED=135°がどのように成り立つのかを理解するために必要な概念を解説します。

問題の設定

まず、三角形ABCを考えます。AB=3、AC=4と与えられています。さらに、点DがBC上にあり、DB:BCの比が9:7であるとします。この条件において、∠ADBの二等分線とABとの交点をEとしたとき、∠AEDが135°になる理由について説明します。

① DB:BC=9:7が成り立つ理由

まず、三角形ABCの辺の比について考えます。DB:BC=9:7という比は、三角形の辺がどのように分割されているかを示しています。この比が成立するためには、点DがBC上で適切に位置する必要があります。つまり、DBがBCの全長のうち、9/16を占める位置に点Dがあるということです。

このような比を求めるために、三角形ABCの辺BCの長さを求め、DBとBCの比が9:7になるように、点Dの位置を決めることができます。この操作は、比の公式や三角形の相似を利用して計算することができます。

② ∠AED=135°が成り立つ理由

次に、∠AED=135°の成り立つ理由を考えます。∠AEDは、∠ADBの二等分線がABと交わる点Eで形成される角度です。∠ADBの二等分線は、三角形の角を均等に分ける特性を持っています。このため、∠AEDが135°であるためには、∠ADBが270°である必要があります。

具体的には、∠ADBが270°であれば、その二等分線である∠AEDが135°になることがわかります。このように、三角形の二等分線の性質を活用することで、∠AEDの値を求めることができます。

まとめ

この問題では、三角形ABCの辺の比と角度の関係を理解することが求められました。DB:BC=9:7という比は、点DがBC上で適切に位置することで成り立ち、∠AED=135°は∠ADBの二等分線の性質を利用することで理解できます。これらの概念をしっかりと理解することで、類似の問題にも対応できるようになります。