この記事では、1から順に自然数を並べた場合に、それらを「1個、2個、4個…」のようにグループに分ける方法について解説します。特に、第5群の初めの数と終わりの数を求める方法と、各群に含まれる数の総和を求める方法を取り上げます。
自然数を群に分ける方法
問題の設定では、自然数を次のように群に分けます。
- 第1群は1個
- 第2群は2個
- 第3群は4個
- 第4群は8個
- …と続きます。
第n群に含まれる数の個数は、2^(n-1)個です。例えば、第1群には1個、第2群には2個、第3群には4個、というように、各群に含まれる数の個数は倍々で増えていきます。
（1）第5群の初めの数と終わりの数を求める方法
第5群に含まれる数の個数は2^(5-1) = 16個です。これをもとに、第5群が含む数の範囲を求めます。
まず、各群の数の合計を求めることで、第5群が含む数の範囲を把握できます。
- 第1群の個数 = 1
- 第2群の個数 = 2
- 第3群の個数 = 4
- 第4群の個数 = 8
- 第5群の個数 = 16
合計すると、1 + 2 + 4 + 8 = 15 となり、第5群の最初の数は16です。第5群には16個の数が含まれているため、16番目の数が第5群の最初の数となり、最終的にその群の終わりの数は16 + 15 = 31となります。
（2）第n群に含まれる数の総和を求める方法
第n群に含まれる数の総和を求めるためには、第1群から第n群までのすべての数を足し合わせます。各群の個数は2^(n-1)個であることを考慮し、総和は以下のように計算できます。
第n群に含まれる数の総和は、次の式で求めることができます。
総和 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(n-1)
これは等比数列の和であり、公式を用いると次のように計算できます。
総和 = 2^n - 1
したがって、第n群に含まれる数の総和は、2^n – 1 で求めることができます。
まとめ
自然数を「1個、2個、4個、8個…」のように群に分ける問題では、各群に含まれる数の個数が2の累乗で増えていきます。第5群の初めの数と終わりの数は、それぞれ16番目の数と31番目の数です。また、第n群に含まれる数の総和は、公式 2^n – 1 を使って求めることができます。このような問題は、数列や等比数列の理解を深めるのに役立ちます。
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