組合せ論の難問：4人の学生がレストランで注文する料理の組み合わせ

組合せ論に関する難問を解いてみましょう。4人の学生A、B、C、Dがレストランで会食をする際に、それぞれが異なる3つの料理を注文し、どの2人についても共通に選んだ料理が1つだけあるような注文の仕方は何通りかを求める問題です。

問題の整理と条件設定

まず、問題の条件を整理します。レストランには9つの料理（番号1番から9番）があります。4人の学生がそれぞれ3つの料理を注文しますが、重要な条件は、どの2人についても共通に選んだ料理が1つだけであることです。

この条件を満たす注文の仕方を求めるためには、数学的な組み合わせを使う必要があります。それぞれの学生がどの料理を選ぶかに注意を払いながら、共通料理を1つだけ選ぶように制約を設けていきます。

まず、4人の学生のうち、2人を選び、その2人の共通料理を1つ選びます。この選び方は9つの料理から1つを選ぶので、9通りの方法があります。

次に、共通料理以外に、それぞれの学生が選ぶ2つの料理を決める必要があります。学生ごとに残りの2つの料理を選ぶ際、共通料理を除いた8つの料理から選ぶことになります。これを順番に計算していくことで、全体の組み合わせが求められます。

まず、4人の学生に共通料理を1つ選ばせる場合の通り数は、9通りです。その後、各学生が選ぶ残りの2つの料理について、共通料理を除いた8つの料理の中からそれぞれ2つを選びます。

この選び方を計算すると、次のように進めます。

1. 9通りで共通料理を選ぶ。

2. 各学生に残りの2つの料理を選ばせる。各学生が選ぶ方法は、残りの8つの料理から2つを選ぶため、組み合わせで計算します。

最終的に、9通りの共通料理を選ぶ方法と、それぞれの学生が2つの料理を選ぶ組み合わせを掛け合わせることで、全体の注文方法を求めることができます。このようにして、答えを導き出します。

答えを計算すると、要求された通りの注文方法の数が求められます。

この問題を解くためには、組合せ論の基礎をしっかりと理解し、共通条件を満たすような組み合わせを順を追って考えることが重要です。数学的な問題を解く際に、条件設定と計算方法を慎重に見極めることで、難しい問題も解決できることがわかります。

このような組み合わせ問題を解く力を養うことで、さらに複雑な数学的課題にも対応できるようになります。