数列の和と一般項を求める方法：数列の問題解説

数学の数列問題に取り組む際、初項や一般項、さらに無限級数について理解することは非常に重要です。今回は、与えられた数列の和から初項と一般項を求め、無限級数の収束についても詳しく解説します。

1. 初項a1を求める方法

まず、与えられた数列の和を使って初項を求めます。数列の和がSn=n^2+5n/2と与えられています。この数列の初項a1を求めるには、Snのn=1の値を計算することで簡単に求めることができます。

具体的には、Snの式にn=1を代入すると、Sn = (1^2 + 5×1) / 2 = 3となります。この値は、数列の初項a1に一致します。したがって、a1 = 3です。

次に、数列の一般項anを求める方法を考えます。一般項を求めるためには、Snを用いてanを求める方法が有効です。Snは数列の最初からn項までの和なので、anはSnとSn-1の差として表されます。

具体的に、an = Sn – Sn-1 という式を使って、Snの式を代入し、一般項anを求めます。式に代入すると、an = ((n^2 + 5n) / 2) – ((n-1)^2 + 5(n-1)) / 2) となります。これを簡単に計算すると、an = 2n + 1 となります。

次に、無限級数について調べます。与えられた式は、1/a1 + 1/a2 + 1/a3 + … という形です。ここで、a1, a2, a3… は数列anの一般項に対応しています。まず、数列の一般項がan = 2n + 1であることがわかっているので、この式に1/anを代入して無限級数の和を考えます。

無限級数の一般項が1/an = 1/(2n + 1)となり、これが収束するか発散するかを判断するために、収束判定法を使います。1/(2n + 1)は比較的緩やかに減少するため、この級数は発散します。したがって、この無限級数は収束せず、発散します。

今回の問題では、数列の和から初項と一般項を求め、さらに無限級数の収束について調べました。具体的な計算方法を通じて、数列の理解が深まったかと思います。初項と一般項の求め方、無限級数の収束判定方法についてしっかりと覚えておくことが重要です。