ベクトルの最小値を求める方法：最適な実数tを見つける解法

この問題では、2つのベクトル a = (3, 3, 2) と b = (-1/2, -5/2, -1) に対して、式 |t * a + b| の最小値を求める方法を解説します。ここで、tは実数であり、最小値を最適に求めるための手順を追います。

ステップ1: ベクトルの内積を使って式を簡単にする

まず、ベクトル t * a + b の長さを最小にするためには、最小値を与えるtの値を求める必要があります。このためには、ベクトルの長さを表す式を使います。

ベクトル t * a + b の長さ |t * a + b| は次のように計算されます。

|t * a + b| = √((t * a_x + b_x)^2 + (t * a_y + b_y)^2 + (t * a_z + b_z)^2)

次に、最小値を求めるためには、式を微分して最小化します。具体的には、tに関して微分して、0になる点を求めます。これが、最小値を与える最適なtの値です。

計算すると、t = 1/2 で最小値を得ることができます。また、その時の最小値は √2 となります。

この問題では、ベクトルの合成と微分を使って、最小値を求める方法を解説しました。最適な実数tは t = 1/2 であり、最小値は √2 です。この方法は、ベクトルの長さを最小化する問題全般に役立つ解法です。