この問題では、自然数c、d、eがc^2 + d^2 = 3eを満たすときに、c、d、eがすべて3の倍数であることをmodを用いて証明する方法について解説します。
問題の確認と戦略
問題は、自然数c、d、eが次の式を満たすとき、c、d、eはすべて3の倍数であることを証明するというものです。
c^2 + d^2 = 3e
まず、この式にmod 3を適用し、各項についての性質を調べることで解法を導きます。
mod 3を使って式を変形する
まず、c^2 + d^2 = 3eをmod 3で考えます。
c^2とd^2をmod 3で見てみましょう。
- 自然数cの平方c^2は、c ≡ 0, 1, 2 (mod 3) の場合にそれぞれ、c^2 ≡ 0, 1, 1 (mod 3) となります。
- 同様に、d^2もd ≡ 0, 1, 2 (mod 3) の場合にそれぞれ、d^2 ≡ 0, 1, 1 (mod 3) となります。
したがって、c^2 + d^2は以下のように分類できます。
- c^2 ≡ 0, d^2 ≡ 0 ならば、c^2 + d^2 ≡ 0 (mod 3)
- c^2 ≡ 1, d^2 ≡ 1 ならば、c^2 + d^2 ≡ 2 (mod 3)
- c^2 ≡ 1, d^2 ≡ 0 ならば、c^2 + d^2 ≡ 1 (mod 3)
- c^2 ≡ 0, d^2 ≡ 1 ならば、c^2 + d^2 ≡ 1 (mod 3)
右辺3eのmod 3の挙動
次に右辺の3eを考えます。3eは常に0 (mod 3) であることがわかります。
つまり、式c^2 + d^2 ≡ 3e (mod 3)を考えると、c^2 + d^2 ≡ 0 (mod 3)でなければならないことがわかります。
したがって、c^2 + d^2 ≡ 0 (mod 3)を満たす組み合わせは、c^2 ≡ 0, d^2 ≡ 0 のみです。つまり、cもdも3の倍数である必要があります。
eの3の倍数性の証明
次に、式c^2 + d^2 = 3eから、c^2 + d^2が3の倍数であることがわかりました。これを基に、eも3の倍数であることを示すことができます。
c^2 + d^2 ≡ 0 (mod 3)であるため、3eも0 (mod 3)となります。したがって、eも3の倍数であることがわかります。
まとめ
c^2 + d^2 = 3eを満たす自然数c、d、eについて、mod 3を使用して、c、d、eはすべて3の倍数であることを証明しました。具体的には、c^2 + d^2が0 (mod 3)でなければならないことから、cとdは3の倍数であり、eもまた3の倍数であることが示されました。
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