多項式の展開式で、特定の項の係数を求める方法は、二項定理や一般的な展開式を用いることで可能です。今回は、「(2x^3 – 3x)^5」の展開におけるxの9乗の係数を求める問題について、具体的な手順を解説します。
問題の確認と二項定理の適用
与えられた式は「(2x^3 – 3x)^5」です。まず、これは二項定理を使って展開できます。二項定理における一般的な項は、次の式で表されます。
(a + b)^n = Σ (nCk) a^(n-k) b^k
ここで、a = 2x^3、b = -3x、n = 5です。この式を用いて展開を行います。
展開式を求める
式「(2x^3 – 3x)^5」の展開を考えると、各項は以下の形になります。
Σ (5Ck) (2x^3)^(5-k) (-3x)^k
これを整理すると、次のようになります。
(5Ck) * (2^(5-k)) * (x^(3(5-k))) * (-3)^k * (x^k)
つまり、各項は次の形を持っています。
(5Ck) * 2^(5-k) * (-3)^k * x^(3(5-k) + k)
xの9乗の項を探す
次に、xの9乗の項を探します。指数部分は「3(5-k) + k」ですので、この式をxの9乗になるように調整します。
3(5-k) + k = 9となるkの値を求めます。
3(5-k) + k = 9
15 – 3k + k = 9
15 – 2k = 9
2k = 6
k = 3
k = 3の場合の係数を求める
k = 3のときの項を求めるために、k = 3を上記の展開式に代入します。
(5C3) * 2^(5-3) * (-3)^3 * x^(3(5-3) + 3)
計算すると、次のようになります。
(5C3) * 2^2 * (-3)^3 * x^9
ここで、(5C3) = 10、2^2 = 4、(-3)^3 = -27 ですので、
10 * 4 * (-27) * x^9 = -1080 * x^9
答え：xの9乗の係数
したがって、「(2x^3 – 3x)^5」の展開におけるxの9乗の係数は -1080 です。
まとめ
多項式の展開式において、指定された項の係数を求める方法は、二項定理を適用し、指数部分を調整して特定の項を見つけることです。今回は「(2x^3 – 3x)^5」のxの9乗の係数を求める問題を通じて、この方法を実践しました。計算の結果、xの9乗の係数は -1080 であることがわかりました。
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