黒石と白石の列における操作の終了条件を示す証明

この問題では、黒石と白石が並ぶ列に対して特定の操作を繰り返すことで、最終的にどんな列でも終了することを示します。操作がどのように進行するか、またなぜ必ず終了するのかを証明します。問題文の条件に従い、詳しく解説します。

操作の内容と目標

問題の操作内容は以下の通りです。まず、互いに隣接していない白石を2つ選びます。その後、2つの白石に挟まれた石を、黒石は白石に、白石は黒石に置き換えます。最後に、選んだ2つの白石を黒石に置き換えます。操作を続け、①の対象となる2つの白石が選べなくなるまで繰り返すことが「終了」です。

重要なのは、どんな操作を行っても最終的には終了することを示すことです。この操作がなぜ終了するかを論理的に証明することが求められています。

この操作を繰り返していくと、白石と黒石の配置が変化します。重要なのは、操作を繰り返すことで白石が徐々に減り、最終的に隣接している白石を選べなくなることです。白石を2つ選んで操作を行う際、次第に白石の数が減少するため、最終的には選べる白石のペアがなくなり、操作が終了します。

さらに、この操作においては、白石を取り除くことと同時に黒石が増えるため、最終的にはすべての白石が黒石に変わることが必然的に起こります。

操作を繰り返すごとに、選ばれた2つの白石が黒石に変わり、その周囲の石の色も変わります。これは、白石が次第に減少し、最終的にはすべて黒石に置き換わる過程であると言えます。

特に、初期状態で白石が隣接していない場合でも、操作を行うことで少しずつ隣接している白石が増え、最終的には操作を行えない状態に至るため、必ず終了します。

この問題が必ず終了する理由は、白石の数が操作を繰り返すことで減少するからです。操作を行うたびに、選ばれた2つの白石が黒石に変わり、白石の数が減ります。白石が1つ以下になった時点で操作が行えなくなり、終了します。

さらに、操作を行うためには、隣接しない白石を選ぶ必要があり、次第に選ぶペアが無くなります。これにより、最終的に操作ができない状態になることが確実であり、この状態を「終了」と呼びます。

この問題では、どんな列に対しても、操作が繰り返されることによって必ず終了することを示しました。白石が減少し、隣接する白石が増えていくことで、操作の対象となる白石ペアが選べなくなり、最終的にはすべての白石が黒石に置き換わるため、必ず終了します。

この操作は、数学的に見ても一定の規則に基づいて進行しており、どんな場合でも最終的に終了することが保証されています。