複素数の方程式z^6=1の解法：図から解く方法と一般的な解法の違い

高校数学の複素数に関する問題で、z^6=1を解く際に「図から答えを求める方法」と「一般的なド・モアブルの定理を使う方法」の違いについて解説します。質問者は、図を使って6次方程式の解を視覚的に求め、その方法が正しいのか疑問を抱いています。ここでは、どちらの方法が妥当かを理解できるように説明します。

問題の設定

与えられた問題は、z^6 = 1という複素数方程式を解くというものです。複素数の解を求める方法として、ド・モアブルの定理を使う方法と、幾何学的に解く方法があります。

z^6 = 1の解は、複素平面上で1を中心とする円上の6等分点であり、1を通る正六角形を描くように分布します。

図を使って解く方法は直感的でわかりやすく、複素平面上でz^6 = 1の解が6つの点に分かれることを理解することができます。具体的には、単位円（|z|=1）上に、1から始めて等間隔に6つの解が配置されることがわかります。

これにより、6つの異なる解を視覚的に示すことができ、それがすべて異なる解であることも確認できます。しかし、図だけでは解の一般性を証明できないため、論理的な証拠としては不十分です。

ド・モアブルの定理を使う方法では、複素数z = r(cosθ + isinθ)の形で表し、z^6 = 1という方程式を解きます。この場合、r = 1（単位円上にある）であり、6つの解はθ = 2πk/6（k=0,1,2,3,4,5）という角度で与えられます。

これにより、z^6 = 1の解は確実に6つであり、それぞれが異なる値であることが証明されます。

図を使った解法は視覚的に理解しやすく、解の配置が直感的に把握できますが、一般的な解法（ド・モアブルの定理を使う方法）は、解の公式的な導出と、解の数が必ず6つであることを証明するためには不可欠です。

数学の問題では、図から答えを得ることはあくまで参考に過ぎません。正確な解答を得るためには、公式を使った計算が重要です。

図を使って6次方程式の解を求める方法は直感的で理解しやすいですが、数学的にはド・モアブルの定理を使った解法が必要です。図から得られた解がすべて異なることを確認するのは良いアプローチですが、一般的な方法で証明することが重要です。