異なるボールを異なる箱に入れる方法と並べ方が同じ通り数になる理由

高校数学でよく登場する確率の問題の一つに、「異なる3つのボールを異なる3つの箱に1つずつ入れる方法」と「異なるボール3つを並べる方法」が同じ通り数になる理由があります。この問題について、なぜ同じ通り数になるのか、詳しく解説します。

ボールを箱に入れる方法と並べ方

まずは、それぞれの問題を確認してみましょう。

1つ目の問題は「異なる3つのボールを異なる3つの箱に1つずつ入れる方法」です。これは、ボール1つ1つを異なる箱に入れる場合の組み合わせを求める問題です。

異なる3つのボールを異なる3つの箱に入れる場合、1つ目のボールを3つの箱から1つ選んで入れ、2つ目のボールは残った2つの箱から1つ選んで入れ、最後のボールは残った1つの箱に入れることになります。この場合、計算は次のように行います。

3 × 2 × 1 = 6通り

次に、「異なるボール3つを並べる方法」を考えます。この場合、3つのボールを1列に並べる順番の問題です。

最初のボールを3つの位置から選び、次に残りの2つの位置からボールを選び、最後のボールは残った1つの位置に置くことになります。この場合も計算は次のように行います。

3 × 2 × 1 = 6通り

この2つの問題がなぜ同じ通り数になるかというと、実際にはどちらも「順番を考えながら選んでいく」方法だからです。

異なる3つのボールを異なる3つの箱に入れる場合も、並べる順番を考えるのと同じように、ボールの順番に応じて箱を選んでいます。これにより、並べ方と箱に入れる方法の両方で同じ計算が適用され、結果として6通りという同じ数が得られるのです。

「異なる3つのボールを異なる3つの箱に入れる方法」と「異なるボール3つを並べる方法」が同じ通り数になる理由は、どちらも順番に関する問題であるためです。ボールの順番に従って箱を選ぶ、またはボールを並べるという共通のプロセスがあるため、計算結果が一致します。