関数解析における閉作用素の性質：S+Tが閉作用素である理由

関数解析では、ノルム空間、閉作用素、そして作用素の合成に関する理解が非常に重要です。今回は、ノルム空間Xにおける閉作用素SとTに関する問題に取り組み、S+Tが閉作用素であることを示す方法について解説します。

1. 閉作用素の定義と基本的な性質

まず、閉作用素の定義を確認しましょう。Xをノルム空間とし、SをXからXへの作用素、TをB(X)に属する作用素とします。閉作用素とは、その定義域D(S)における任意の列{ x_n }が、S(x_n)が収束するとき、x_n自体がD(S)内で収束することを意味します。

次に、SとTがそれぞれ閉作用素である場合にS+Tが閉作用素であることを示すために、まずSとTの定義域を考えます。問題の前提では、D(S)がSの定義域であり、TはB(X)に属しています。S+Tの定義域はD(S)に含まれるため、D(S)内でS+Tの収束性を確認します。

S+Tが閉作用素であることを示すために、SとTが閉作用素であることを利用します。具体的には、S(x_n)とT(x_n)がそれぞれ収束するならば、S+Tの作用も収束することを確認する必要があります。これは、D(S)内で定義された列が収束するため、S+Tも収束することを示す証明になります。

これらのステップを通じて、SとTがそれぞれ閉作用素であれば、S+Tも閉作用素であることが確かめられました。数学的な証明では、収束性と定義域をしっかりと管理することが重要です。

閉作用素に関する問題では、作用素の収束性を確認し、合成作用素の定義域や収束条件を適切に扱うことが求められます。今回のような問題は、基本的な概念をしっかりと理解することで解決できます。引き続き、関数解析の問題に取り組む際には、定義域と収束の関係を意識して学習を進めていきましょう。