xz∂z/∂x + yz∂z/∂y = x² + y² + z² の一般解を求める方法

この記事では、微分方程式「xz∂z/∂x + yz∂z/∂y = x² + y² + z²」の一般解を求める方法について解説します。この偏微分方程式の解法を段階的に説明し、具体的な手順を追いながら解を求める方法を学びます。

問題の確認と式の整理

与えられた微分方程式は次の通りです。

xz∂z/∂x + yz∂z/∂y = x² + y² + z²

この式は、xとyについて偏微分を含むzの方程式であり、偏微分方程式を解くためにまず式の整理を行います。

偏微分方程式を解く一般的な方法の一つに「変数分離法」があります。まず、xとyの項がzに依存する形に整理することで、変数分離を試みます。式を次のように変形します。

∂z/∂x + (yz/z) ∂z/∂y = (x² + y² + z²) / z

ここで、zに関する項とx、yに関する項を分けるために変数を分離していきます。

変数分離後、両辺を積分することで解を求めます。積分を行う際に、zに関する積分やx、yの積分を順番に行います。

積分後、得られる解に積分定数を加えることで一般解が導かれます。積分定数は、境界条件や初期条件を利用して特定することができます。

積分を行った後、得られる一般解は次のように整理されます。この解は、偏微分方程式の解として、x、y、zに関しての関係を示します。

さらに、得られた解を用いて問題に合わせた具体的な条件に適用することで、特定の解を得ることが可能です。

微分方程式「xz∂z/∂x + yz∂z/∂y = x² + y² + z²」の一般解を求めるには、まず式を整理し、変数分離法を用いて解法を進めます。積分を行い、積分定数を考慮することで最終的に一般解を得ることができます。このプロセスを理解し、解法に対する自信を深めましょう。