4次の交代群Gが原始的置換群であることの証明

このページでは、数学における「4次の交代群Gが原始的置換群であること」を示す方法について解説します。特に、与えられた群Gの具体的な構成を通じて、2重可移性や原始的置換群の概念を理解し、問題の解き方を詳しく説明します。

1. 4次の交代群Gの定義と構成

まず、群Gは以下のように定義されます。Ω={1, 2, 3, 4}とし、Gは次の置換を含みます。

• 1Ω
• (1 2)(3 4)
• (1 3)(2 4)
• (1 4)(2 3)
• (1 2 3)
• (1 2 4)
• (1 3 2)
• (1 3 4)
• (1 4 2)
• (1 4 3)
• (2 3 4)
• (2 4 3)

これらの置換は、Ωの順序を保ちながら4つの元を入れ替える操作です。Gが原始的置換群であるためには、Gの任意の非単位元が原始的置換群の定義を満たさなければなりません。

2. 2重可移性の確認

質問文にもあるように、Gは2重可移性であることが示されています。2重可移性とは、任意の非単位元による置換操作が、群の全体に対して移動することを意味します。これを確かめるには、群Gの元を使って、2つの異なる元が同じ置換操作によって移動することを確認する必要があります。すでに誘導内でこの点は示されています。

3. 原始的置換群の定義

原始的置換群とは、ある群が、その元の間で不変な置換を持ち、かつその群の任意の部分群が単位群になる群です。群Gが原始的置換群であることを示すためには、Gがどのようにその元の間で構造を保持し、他の群との関係において有意義な操作を持つのかを確認します。

4. 群の元と原始的置換群の関係

群Gが原始的置換群であるためには、その群の構造が単純であり、他の群の作用が限定的であることが重要です。具体的には、Gの元がどのように作用し、その結果として群の他の元をどのように導くかを考えます。これにより、Gの元が原始的置換群の条件を満たすことを示すことができます。

5. 結論

4次の交代群Gが原始的置換群であることを示すためには、Gが2重可移性を満たし、さらにその構造が原始的置換群の定義に適合することを確認する必要があります。これを通じて、群Gが原始的置換群であることを証明できます。