a + b + c + d = 21 を満たす正の整数の組み合わせの数を求める方法

この問題では、a + b + c + d = 21 を満たす正の整数 a, b, c, d の組み合わせの数を求めることが求められています。このタイプの問題は、組み合わせと整数の分割の基本的な応用問題です。実際の解法を通じて、これをどのように解決するかを見ていきます。

1. 問題の理解とアプローチ

与えられた式は a + b + c + d = 21 という形です。ここで a, b, c, d はすべて正の整数です。このような問題は、整数の分割問題として考えることができます。特に、各変数が正の整数であることから、1以上の整数に分ける方法を考える必要があります。

この場合、変数 a, b, c, d にそれぞれ最小の値1を与えた後、残りの部分を分ける方法を考えることができます。

2. 解法のアプローチ: 変数の変換

問題を解くためには、まず各変数が1以上の整数であることを考慮し、変数 a, b, c, d に1を引いて新たに変数 x, y, z, w を定義します。具体的には、a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, d = w + 1 と変換します。

すると、式は次のように変換できます。

x + y + z + w = 17

これで、x, y, z, w は非負整数となります。この問題は、17を4つの非負整数に分ける方法を求める問題に変わりました。

3. 非負整数の分割数を求める方法

非負整数の分割数を求める方法は、「星と棒」の定理を用いることで簡単に求めることができます。「星と棒」の定理により、17を4つの非負整数に分ける方法の数は、次のように計算できます。

組み合わせの数は、(17 + 4 – 1) C (4 – 1) = 20 C 3 となります。

この計算を実行すると、20 C 3 = 1140 となります。

4. 結果とまとめ

したがって、a + b + c + d = 21 を満たす正の整数の組み合わせの数は 1140 通りです。この方法は「星と棒」の定理を用いた典型的な整数分割問題であり、整数の組み合わせの問題を解く際に有用な技法です。

この手法を使うことで、より複雑な整数分割の問題にも対応することができます。

まとめ

a + b + c + d = 21 を満たす正の整数の組み合わせの数は、星と棒の定理を用いることで1140通りと求めることができました。このアプローチは、整数分割の問題を効率的に解くための有力な方法です。