√80nが整数になる2桁の自然数nの求め方【中3数学】

中学3年生の数学で出てくる「√80nが整数になる2桁の自然数nを求めよ」という問題の解法を解説します。問題文を理解し、どのように計算を進めれば良いのかをステップバイステップで説明します。

問題の理解とアプローチ

問題は「√80n」が整数になる2桁の自然数nを求めるものです。この場合、√80nが整数になるためには、80nが完全な平方数（つまり、平方根を取ると整数になる数）でなければなりません。まず、この条件を使ってnの値を求めていきましょう。

80nが完全な平方数になる条件

80nが完全な平方数であるためには、80の因数とnの因数がうまく組み合わさって、すべての因数が2つずつペアになる必要があります。80の素因数分解をしてみると、80 = 2^4 × 5 です。つまり、80には2の4乗と5があります。

この80にnを掛けた結果が完全な平方数であるためには、nの中で5の因数をもう1つ掛け合わせる必要があります。つまり、nは少なくとも5の倍数である必要があります。

nの値を求める

nが5の倍数であり、2桁の自然数である必要があります。では、2桁の自然数で5の倍数であるnを列挙してみましょう。

n = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90

次に、これらのnの値を使って、√80nが整数になるか確認します。具体的には、80nが完全な平方数であるかを調べます。

実際に計算してみる

各nについて√80nを計算すると、次のようになります。

• n = 20: √80 × 20 = √1600 = 40（整数）
• n = 45: √80 × 45 = √3600 = 60（整数）
• n = 80: √80 × 80 = √6400 = 80（整数）

このように、n = 20, 45, 80の場合に√80nが整数になります。したがって、求める答えは20, 45, 80です。

まとめ

「√80nが整数になる2桁の自然数n」を求める問題では、80nが完全な平方数である必要があるため、nは5の倍数であり、また2桁の自然数である必要があります。計算の結果、n = 20, 45, 80が解となります。このように、数学の問題を解くときには、数の性質をよく理解し、ステップごとに計算を進めることが大切です。